PÁGINA DA PROFESSORA

SABRINA SALAZAR

                   

 

CÁLCULO B

SEMANA3

 

2 ÁREA ENTRE CURVAS

     O estudo das integrais definidas foi motivado pelo cálculo de áreas, como já vimos na semana anterior. Nesta semana iremos estudar o cálculo de áreas mais gerais utilizando as integrais definidas.  

     O problema geral de área

 

Considere `f` e `g` funções contínuas em um intervalo `[a,b]` tais que `f(x)>=g(x)>=0`, ou seja, os gráficos de `f` e `g` estão acima do eixo `x` e o gráfico de `f` está acima do gráfico de `g`, conforme exemplo na figura ao lado. Como encontrar o valor da área que está abaixo do gráfico de `f`, acima do gráfico de `g` e entre as retas `x=a` e `x=b`?  

 

 

    

Observe que a área procurada pode ser obtida descontando a área sob o gráfico da `g` da área sob o gráfico da `f`, conforme figura ao lado. Em termos de integrais definidas temos

`int_a^bf(x)dx-int_a^bg(x)dx=int_a^bf(x)-g(x)dx`.

 

 

 

     Este problema pode ser proposto de forma mais geral, sem exigir que `f(x)>=g(x)>=0`. E o raciocínio anterior indica a solução deste problema.

Fórmula para a área

Se `f` e `g` forem contínuas no intervalo `[a,b]` e se `f(x)>=g(x)` para todo `x` em `[a,b]`, então a área da região limitada acima por `y=f(x)`, abaixo por `y=g(x)`, à esquerda pela reta `x=a` e à direita pela reta `x=b` é

`A=int_a^b[f(x)-g(x)]dx`.

     Note que o raciocínio anterior não explica de forma rigorosa a fórmula para a área, apenas indica. Para obter uma solução mais formal, pode-se estabelecer uma Soma de Riemann para a integral `int_a^b[f(x)-g(x)]dx`.

     É importante salientar que esta fórmula fornece o valor exato da área, sem sinal.

     Observação: Usualmente memorizamos essa fórmula por "integral da função de cima menos a de baixo".

Exemplos:

1) Calcular a área da região limitada superiormente por `f(x)=x+3`, inferiormente por `g(x)=x^2`, à direita por `x=2` e à esquerda por `x=1`. A região descrita está representada na figura abaixo.

     Utilizando a fórmula para a área temos:

     `A=int_1^2x+3-x^2dx=(x^2)/2+3x-(x^3)/3]_1^2=(2^2)/2+3 times 2-(2^3)/3-((1^2)/2+3 times 1-(1^3)/3)=13/6`.

2) Calcular a área da região englobada pelas curvas `y=x^2` e `y=2-x^2`.

     Neste caso, temos primeiro que fazer um esboço do gráfico para visualizar a região e decidir qual será a função "de cima" e quais serão os limites da integração. Fazendo tal esboço, obtemos:

     Observação: Este gráfico pode ser feito no Maxima, usando os comando "f(x):=x^2; g(x):=2-x^2;wxplot2d([f(x),g(x)], [x,-5,5]);"

     Apenas olhando o gráfico, já podemos decidir que a curva de cima é `y=2-x^2` e a de baixo é `y=x^2`, mas ainda não podemos determinar os limites de integração. Para isso, vemos no gráfico que, nos pontos de interseção, temos os mesmos valores para `y` em ambas as curvas. Assim, a fim de determinar para quais valores de `x` isso ocorre, resolvemos a equação `x^2=2-x^2` (que pode ser resolvida no Maxima pelos comandos "f(x):=x^2; g(x):=2-x^2;solve([f(x)=g(x)], [x]);"). Com isso obtemos `-1` e `1` como limites da integral que calcula a área. Agora vamos ao cálculo da área:

`A=int_(-1)^1 2-x^2-x^2dx=int_(-1)^1 2-2x^2dx=2x-2/3x^3]_(-1)^1=2 times 1-2/3 1^3-[2(-1)-2/3(-1)^3]=8/3`.

Arquivo com a solução completa no Maxima - Download

     Revertendo os papéis de x e y

     Alguns problemas podem ser mais facilmente resolvidos se olharmos para as curvas como se `x` fosse uma função de `y`. Se pensarmos dessa forma, temos que reescrever o problema da área e sua solução, agora pensando em `x` como função de `y` (`x=f(y)`).

Fórmula para a área

Se `f` e `g` forem funções de y contínuas no intervalo `[c,d]` e se `f(y)>=g(y)` para todo `y` em `[c,d]`, então a área da região limitada à direita por `x=f(y)`, à esquerda por `x=g(y)`, abaixo pela reta `y=c` e acima pela reta `y=d` é

`A=int_c^d[f(y)-g(y)]dy`.

Exemplo:    

3) Calcular a área englobada pelas curvas `x=y^2` e `y=x-2`.

     O primeiro passo sempre é fazer um esboço da região:

 

     Observe que, neste caso, não há uma curva que esteja sempre "acima". Por isso, se formos calcular como no primeiro caso, precisaremos dividir a região da seguinte forma

 

para conseguir que em cada parte haja sempre uma mesma função "de cima" e uma mesma função "de baixo". Isso dificulta a resolução do problema. Porém, se olharmos com atenção, vemos que a reta está sempre à direita da parábola. Logo, podemos interpretar como um problema onde `x` é uma função de `y`, "isolando o `x`", ou seja, fazendo `x=y+2`. Daí temos a região representada pela figura seguinte

 

com `y+2>=y^2` na região. Para determinar os limites de integração, resolvemos `y+2=y^2`, obtendo `y=-1` e `y=2`. Daí resolvemos

`A=int_(-1)^2 y+2-y^2dy=(y^2)/2+2y-(y^3)/3]_(-1)^2=(2^2)/2+2 times 2-(2^3)/3-(((-1)^2)/2+2(-1)-((-1)^3)/3)=9/2`.

Que tal tentar você mesmo? Você pode praticar com os exercícios propostos e após realizar a Tarefa 3.1.

 

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